(2011•凉山州)在一次课题设计活动中,小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案;大坝的横截面为等腰梯形,如图,AD∥BC,坝高10m,迎水坡面AB的坡度i=53,老师看后,从力学的角度对此方案提出了建议,小明决定在原方案的基础上,将迎水坡面AB的坡度进行修改,修改后的迎水坡面AE的坡度i=56.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB的长(结果保留根号);(2)如果方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变,在方案修改后,若坝顶沿EC方向拓宽2.7m,求坝底将会沿AD方向加宽多少米?

问题描述:

(2011•凉山州)在一次课题设计活动中,小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案;大坝的横截面为等腰梯形,如图,AD∥BC,坝高10m,迎水坡面AB的坡度i=

5
3
,老师看后,从力学的角度对此方案提出了建议,小明决定在原方案的基础上,将迎水坡面AB的坡度进行修改,修改后的迎水坡面AE的坡度i=
5
6

(1)求原方案中此大坝迎水坡AB的长(结果保留根号);
(2)如果方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变,在方案修改后,若坝顶沿EC方向拓宽2.7m,求坝底将会沿AD方向加宽多少米?

(1)过点B作BF⊥AD于F.
在Rt△ABF中,∵i=

BF
AF
=
5
3
,且BF=10m.
∴AF=6m,AB=2
34
m.
答:此大坝迎水坡AB的长是2
34
m;
(2)过点E作EG⊥AD于G.
在Rt△AEG中,∵i=
EG
AG
5
6
,且EG=BF=10m
∴AG=12m,
∵AF=6m,
∴BE=GF=AG-AF=6m,
如图,延长EC至点M,AD至点N,连接MN,
∵方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变.S△ABE=S梯形CMND
1
2
•BE•EG=
1
2
(MC+ND)•EG
即BE=MC+ND.
DN=BE-MC=6-2.7=3.3(m).
答:坝底将会沿AD方向加宽3.3m.
答案解析:(1)过点B作BF⊥AD于F,在直角三角形ABF中解得AF,AB的值.
(2)过点E作EG⊥AD于G.延长EC至点M,AD至点N,连接MN,由S△ABE=S梯形CMND从而解得DN的值.
考试点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题;等腰梯形的性质.
知识点:本题考查了直角三角形的应用,(1)过点B作BF⊥AD于F,在直角三角形ABF中从而解得AF,AB的长度;(2)作辅助线,面积不变,由S△ABE=S梯形CMND,解方程组得到ND.