如果对于一个集合中任意两个元素,做某种运算后的结果仍在这个集合中,则称该集合对此运算是封闭的,已知A=｛0,1｝,B=｛y|y=m+n√2,m,n∈Z｝,试判断A,B对加,减,乘,除四种运算是否封闭,为什么?
问题描述：
如果对于一个集合中任意两个元素,做某种运算后的结果仍在这个集合中,则称该集合对此运算是封闭的,已知A=｛0,1｝,B=｛y|y=m+n√2,m,n∈Z｝,试判断A,B对加,减,乘,除四种运算是否封闭,为什么?
答
对A进行考察：
加法：∵1+1=2∉A,∴不封闭
减法：∵0-1=-1∉A,∴不封闭
乘法：∵0×0=0×1=0∈A且1×1=1∈A,∴封闭
除法：∵0÷0∉A,∴不封闭
对B进行考察：
任设p、q∈B且p=a+b√2,q=c+d√2
加法：∵p+q=(a+c)+(b+d)√2∈B,∴封闭
减法：∵p-q=(a-c)+(b-d)√2∈B,∴封闭
乘法：∵pq=(ac+2bd)+(ad+bc)√2∈B,∴封闭
除法：p/q=【(ac-2bd)+(bc-ad)√2】/【c²-2d²】
若c²-2d²=0,则c=√2d,c、d中至少有一个不属于Z或者都为0
前者与题意矛盾舍去,由后者可得不封闭