怎样把量子数代入薛定谔方程求解不同状态的波函数 需要哪些数学基础

求波函数就是求解Schr.eq.的问题.
一维定态Schr.eq.一般比较容易求解,代入一维势函数V（x）得到二阶线性常微分方程,根据方程系数定出波函数ψ(x)通解形式,将边值条件代入ψ(x),并利用波函数归一化条件确定ψ(x)中的各个系数,这样就得到了波函数ψ(x)的表达式.通常为了满足边值条件,波函数ψ(x)中的系数必须取分立值,比如为了满足边界条件ψ(a)=Asin(ka)=0,必须令ka=nπ (n=1,2,3...),于是方程变为ψ(x)=Asin(nπx/a) (n=1,2,3...),由此引入了量子化的概念,以量子数n表征不同的本征态.
有些问题解起来比较复杂,比如氢原子势会涉及合流超几何方程、球方势阱会用到球Bessel函数等等,这些比较特殊的函数通常可以在数学物理方法上找到对应的解决办法.但一般说来求波函数的大致步骤都是一样的,就是把势函数代入Schr.eq.解方程,最后利用波函数的归一化条件定系数.
除了上面说的一般解法之外,在求解一些本征值问题时可以使用代数解法,比如求解一维谐振子势时利用升降算符对Schr.eq.进行因式分解,可以很方便的求出系统的本征态.
在数学方面要求并不太高,通常会解常微分方程就可以了.一些特殊的函数大致了解求解的方法,一般只需要记住结论.