已知F1、F2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得|PF2|2|PF1|=8a，则双曲线的离心率的取值范围是______．
问题描述：
已知F1、F2分别为双曲线
−x 2
a 2
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得y 2
b 2
=8a，则双曲线的离心率的取值范围是______． |PF2|2
|PF1|
答
知识点：本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF1|=4a，|PF2|=2a是基础，利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的三角关系得到关于a，c的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|-|PF2|=-2a，∴|PF2|=|PF1|+2a，①又|PF2|2|PF1|=8a，②∴由①②可得，|PF1|=2a，|PF2|=4a．∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即2a+4a≥2c，∴ca≤3，③又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|，∴2a+2c＞4a，...
答案解析：依题意，双曲线左支上存在一点P使得
=8a，|PF1|-|PF2|=-2a，可求得，|PF1|=2a，|PF2|=4a，再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围．|PF2|2
|PF1|
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF1|=4a，|PF2|=2a是基础，利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的三角关系得到关于a，c的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．