问题探索:(1)已知一个正分数nm(m>n>0),如果分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小?请证明你的结论.(2)若正分数nm(m>n>0)中分子和分母同时增加2,3…k(整数k>0),情况如何?(3)请你用上面的结论解释下面的问题:建筑学规定:民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好还是变坏?请说明理由.

问题描述:

问题探索:
(1)已知一个正分数

n
m
(m>n>0),如果分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小?请证明你的结论.
(2)若正分数
n
m
(m>n>0)中分子和分母同时增加2,3…k(整数k>0),情况如何?
(3)请你用上面的结论解释下面的问题:
建筑学规定:民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好还是变坏?请说明理由.

(1)

n
m
n+1
m+1
(m>n>0)
证明:∵
n
m
-
n+1
m+1
=
n−m
m(m+1)

又∵m>n>0,
n−m
m(m+1)
<0,
n
m
n+1
m+1

(2)根据(1)的方法,将1换为k,有
n
m
n+k
m+k
(m>n>0,k>0).
(3)设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y,增加面积为a,
由(2)的结论,可得一个真分数,分子分母增大相同的数,则这个分数整体增大;
则可得:
y+a
x+a
y
x

所以住宅的采光条件变好了.
答案解析:(1)使用作差法,对两个分式求差,有
n
m
-
n+1
m+1
=
n−m
m(m+1)
,由差的符号来判断两个分式的大小.
(2)由(1)的结论,将1换为k,易得答案,
(3)由(2)的结论,可得一个真分数,分子分母增大相同的数,则这个分数整体增大;结合实际情况判断,可得结论.
考试点:分式的基本性质;分式的化简求值.

知识点:本题考查分式的性质与运算,涉及分式比较大小的方法(做差法),并要求学生对得到的结论灵活运用.