如图,已知△ABC中,延长AC边上的中线BE到G,使EG=BE,延长AB边上的中线CD到F,使DF=CD,连接AF,AG.(1)补全图形;(2)AF与AG的大小关系如何?证明你的结论;(3)F,A,G三点的位置关系如何?证明你的结论.
问题描述:
如图,已知△ABC中,延长AC边上的中线BE到G,使EG=BE,延长AB边上的中线CD到F,使DF=CD,连接AF,AG.
(1)补全图形;
(2)AF与AG的大小关系如何?证明你的结论;
(3)F,A,G三点的位置关系如何?证明你的结论.
答
(1)补全图形,如图所示;
(2)AF=AG,理由为:
在△AFD和△BCD中,
,
AD=BD ∠ADF=∠BDC FD=CD
∴△AFD≌△BCD(SAS),
∴AF=BC,
在△AGE和△CBE中,
,
AE=CE ∠AEG=∠CEB GE=BE
∴△AGE≌△CBE(SAS),
∴AG=BC,
则AF=AG;
(3)F,A,G三点共线,理由为:
∵△AFD≌△BCD,△AGE≌△CBE,
∴∠FAB=∠ABC,∠GAC=∠ACB,
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠FAB+∠BAC+∠GAC=180°,
则F,A,G三点共线.
答案解析:(1)补全图形,如图所示;
(2)AF=AG,理由为:根据D为AB中点,且CD=FD,夹角相等,利用SAS得到三角形AFD与三角形CBD全等,利用全等三角形对应边相等得到AF=BC,同理得到AG=BC,等量代换即可得证;
(3)F,A,G三点共线,理由为:由三角形AFD与三角形CBD全等,以及三角形AGE与三角形BEC全等,利用全等三角形对应角相等得到∠FAB=∠ABC,∠GAC=∠ACB,利用三角形内角和定理及平角的定义即可得证.
考试点:全等三角形的判定与性质.
知识点:此题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.