考研数学微分方程初值问题.yy''=1+(y')^2.已知y(1)=1,y'(1)=0 为什

问题描述:

考研数学微分方程初值问题.yy''=1+(y')^2.已知y(1)=1,y'(1)=0 为什
考研数学微分方程初值问题.
yy''=1+(y')^2.已知y(1)=1,y'(1)=0
为什么我最后求的dy/√(y^2-1)=±dx结果是两个,而答案却能综合到一个y=(e^(x-1)+e^(1-x))/2?

设y'=p,则y''=p(dp/dy)
代入原方程得yp(dp/dy)=1+p
==>pdp/(1+p )=dy
==>ln(1+p )=2ln│y│+C (C是积分常数)
∵y(1)=1,y'(1)=0
∴当x=1时,p=1 ==>C=0
∴ln(1+p )=2ln│y│
==>1+p =y
==>y'=√(y -1),或y'=-√(y -1)
==>dy/√(y -1)=dx,或dy/√(y -1)=-dx
==>ln│y+√(y -1)│=x+C,或ln│y+√(y -1)│=-x+C (C是积分常数)
∵y(1)=1
∴C=-1,或C=1
==>y+√(y -1)=e^(x-1),或y+√(y -1)=e^(1-x)
故原方程满足初值的解是y+√(y -1)=e^(x-1),或y+√(y -1)=e^(1-x).但是他们一个是+x一个是-x的时候对应的两个特解。不就相当于两个不同区间的解了吗。再说左边也还有一个y-√(y^2-1)怎么会变成了y?