存在连续的双射但其逆映射不连续吗?

不存在,事实上都用不到双射这个很强的条件,只要是单射就够了（不必是满射）,因为如果f(x)在区间I上连续且是单射,就有f(x)在I上严格单调,因此f(x)的反函数也是区间I上的严格单调连续函数,并且和f(x)有相同的单调性.这两个结论一般都是以习题形式出现的,你可以自己证一下.那就可以了，举反例最好用的就是离散拓扑和平庸拓扑了。从离散拓扑空间A到任何拓扑空间B的映射都是连续映射，这很容易证明，因此可以很任意的构造一个从离散空间到某一个拓扑空间的双射，它是连续的，但是其逆映射不连续，因为从B到A的映射，A中任意集合（都是开集）在B中的原像不一定是开集。这个不满足映射的定义，因为映射的定义是对于任意的x属于A，在B中有且仅有唯一的y与之对应。在你的这个“映射”中，3属于A，但是在B中找不到与之对应的元素，所以这个不是映射。