使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数y=x-1,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数y=x-1的零点.己知函数y=x2-2mx-2(m+3)(m为常数).(1)当m=0时,求该函数的零点;(2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点;(3)设函数的两个零点分别为x1和x2,且1x1+1x2=−14,此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧),点M在直线y=x-10上,当MA+MB最小时,求直线AM的函数解析式.

问题描述:

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数y=x-1,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数y=x-1的零点.
己知函数y=x2-2mx-2(m+3)(m为常数).
(1)当m=0时,求该函数的零点;
(2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点;
(3)设函数的两个零点分别为x1和x2,且

1
x1
+
1
x2
=−
1
4
,此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧),点M在直线y=x-10上,当MA+MB最小时,求直线AM的函数解析式.

(1)当m=0时,该函数的零点为

6
6

(2)令y=0,得△=(-2m)2-4[-2(m+3)]=4(m+1)2+20>0
∴无论m取何值,方程x2-2mx-2(m+3)=0总有两个不相等的实数根.
即无论m取何值,该函数总有两个零点.
(3)依题意有x1+x2=2m,x1x2=-2(m+3)
1
x1
+
1
x2
=−
1
4

解得m=1.
∴函数的解析式为y=x2-2x-8.
令y=0,解得x1=-2,x2=4
∴A(-2,0),B(4,0)
作点B关于直线y=x-10的对称点B′,连接AB′,
则AB’与直线y=x-10的交点就是满足条件的M点.
易求得直线y=x-10与x轴、y轴的交点分别为C(10,0),D(0,-10).
连接CB′,则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6,∠B′CD=∠BCD=45°
∴∠BCB′=90°
即B′(10,-6)
设直线AB′的解析式为y=kx+b,则
−2k+b=0
10k+b=−6

解得:k=-
1
2
,b=-1;
∴直线AB′的解析式为y=−
1
2
x−1

即AM的解析式为y=−
1
2
x−1

答案解析:(1)根据题中给出的函数的零点的定义,将m=0代入y=x2-2mx-2(m+3),然后令y=0即可解得函数的零点;(2)令y=0,函数变为一元二次方程,要想证明方程有两个解,只需证明△>0即可;(3)根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标,个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′,连接AB′,求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时,直线AM的函数解析式.
考试点:二次函数综合题.
知识点:本题是二次函数的综合题,其中涉及到的知识点方程有两个实数根的证明及动点问题等知识点,是各地中考的热点和难点,解题时注意数形结合等数学思想的运用,同学们要加强训练,属于中档题.