2×3分之1+3×4分之1+… +2013×2014分之1

=2分之1-3分之1+3分之1-4分之1+……+2013分之1-2014分之1
=2分之1-2014分之1
=1007分之503

原式等于2012-（3分之1+4分之1+5分之1+……+2014分之1），对于括号连的式子，许多数学前辈做了研究，自然数倒数的和，是一种调和级数，几百年以前数学爱好者（包括数学家）开始研究调和数列，并且试图求出调和数列的前n项和公式，可惜，虽然经过大家几百年的努力，仍然没有得到这种公式，一般的认为可能没有这种公式。只是得到当n很大的时候的近似公式：1+1/2+1/3+……+1/n≈lnn+C
其中，lnn是n的自然对数，C=0.5772……，叫做欧拉常数，是专为调和数列发现的。
，所以说没有精确的算法，如果要算只能用上面的近似解 ，我不清楚楼主什么水平的，会有这样的题

2×3分之1+3×4分之1+… +2013×2014分之1
（一）
=2*(1/3)+3*(1/4)+.+2013*(1/2014)
=2/3+3/4+.+2013/2014
=(1-1/3)+(1-1/4)+.+(1-1/2014)
=1-1/3+1-1/4+.+1-1/2014
=2012-1/3-1/4-.-1/2014
=2012-(1/3+1/4+.+1/2014)
=2012-6.6853419798.
=2005.3146580202.
（二）
=1/(2*3)+1/(3*4)+.+1/(2013*2014)
=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.+(1/2013-1/2014)
=1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/2013-1/2014
=1/2-1/2014
=1007/2014-1/2014
=1006/2014
=503/1007