设函数以2π为周期,它在[-π,π]上的表达式为f(x)=π^2-x^2.1.求fx的傅里叶展开式.

一 f(x)=pi^2-x^2
a0=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)dx; 括号内是积分范围
an=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)cosnxdx;
bn=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)sinnxdx;
傅里叶展开式为 2\a0+ ∑(an*cos(nx)+bn*sin(nx))
具体运算我不写了,傅里叶展开式就是套公式而已,运算出的答案一般长而不怪,太怪的话你就看看你的积分有无错误.
二
∑(-1)^(n-1)*(1/n^2)=∑(-1)^(n-1)*(1\n) * ∑(1\n)
麦克劳林公式∑(-1)^(n-1)*(1\n)=ln(1+1)=ln2
∑(1\n)也为ln2,它是调和级数,这里比较麻烦,不写出来了,
答案就是两个相乘
ps：这里我默认∑xy=∑x*∑y 我不知道是否正确,原式里只带入了n=1,2,3的值验算,结果倒是对的,但不知道是否有这公式
其实这种题就是用麦克劳林公式去将交错级数简化,熟悉就好
三
第三个有点怪,目测也是调和级数,你们连这也要考吗,当年我是感兴趣才看的这部分,老师几句话就带过了,书上也只有一个1\n的求和,证明收敛都很麻烦,还要求具体数据,这部分我帮不了你,具体参见调和函数百科,应该有求和的公式
好几年没看高数,不敢保证正确,恩，谢谢你。第2,3题是根据第一题的答案带入数值计算的，我知道方法，就是总是算不对，所以想来看看有没有人给个具体的步骤，让我看看我哪里做错了。第三题答案是24\pi平方吗，我用不等式估了下，不知道对不对。算不对的话肯定是运算问题了，方法一般都不会错的，高数的运算确实恶心，傅里叶展开式更是....。具体的步骤是指第一问吗，如果需要的话我可以帮你算一下，不过是用数学软件....恩，第三题是的。你帮我算一下第一问吧，谢谢啦。我帮你算了一部分，后面赋值我实在算不动了，分布积分下来一长串，不过an，bn应该都是对的a0很简单，我直接给答案了4pi^2\3an比较麻烦（π^2-x^2）cos(nx)拆成两部分积分，一部分是1\pi∫π^2*cos(nx)这部分积分很简单，积下来是pi\n*sin(nx),后部分就麻烦了，要用两步分布积分∫ x^2 cosnx dx=x^2\n*sin(nx)-2∫x\n*sin(nx)dx=x^2\n*sin(nx)-2(-x\n^2*cosnx-∫-n^2cos(nx)dx)=n\x^2*sin(nx)+2x\n^2*cos(nx)-2\n^3*sin(nx)答案还要再乘以一个1\pi 然后把区间取值带进去再相减就行了an=4\n^2*cos(n*pi) bn也是和an一样，前面部分为-pi\n*cos(nx) 后半部分为-x^2\n*cos(nx)+2x\n^2*sin(nx)+2\n^3*cos(nx)然后再乘以一个1\pi，我就算到了这里bn没赋值算，居然用了我40几分钟，擦，生疏了，不过积分结果我都验证过，应该是对的。好吧，我帮你算完了，bn赋值后为0把an，bn,a0代入后得2pi^2\3+ ∑(4\n^2*(cos(n*pi))*cos(nx)cosnpi可以化成交错级数，over