数学公式大全
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数学高考基础知识、常见结论详解
一、集合与简易逻辑:
一、理解集合中的有关概念
(1)集合中元素的特征:确定性 ,互异性 ,无序性 .
集合元素的互异性:如:,,求 ;
(2)集合与元素的关系用符号 ,表示.
(3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 、 ;整数集 ;有理数集 、实数集 .
(4)集合的表示法:列举法 ,描述法 ,韦恩图 .
注意:区分集合中元素的形式:如:; ; ; ; ;
;
(5)空集是指不含任何元素的集合.( 、 和 的区别;0与三者间的关系)
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
注意:条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况.
如:,如果 ,求 的取值.
二、集合间的关系及其运算
(1)符号“ ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ;
符号“ ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 .
(2) ; ;
(3)对于任意集合 ,则:
① ; ; ;
② ; ;
; ;
③ ; ;
(4)①若 为偶数,则 ;若 为奇数,则 ;
②若 被3除余0,则 ;若 被3除余1,则 ;若 被3除余2,则 ;
三、集合中元素的个数的计算:
(1)若集合 中有 个元素,则集合 的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是 .
(2) 中元素的个数的计算公式为:;
(3)韦恩图的运用:
四、 满足条件 ,满足条件 ,
若 ;则 是 的充分非必要条件 ;
若 ;则 是 的必要非充分条件 ;
若 ;则 是 的充要条件 ;
若 ;则 是 的既非充分又非必要条件 ;
五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 ;
注意:“若 ,则 ”在解题中的运用,
如:“ ”是“ ”的 条件.
六、反证法:当证明“若 ,则 ”感到困难时,改证它的等价命题“若 则 ”成立,
步骤:1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确.
矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题.
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时.
正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个
否定
正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个
否定
二、函数
一、映射与函数:
(1)映射的概念:(2)一一映射:(3)函数的概念:
如:若 ,;问:到 的映射有 个,到 的映射有 个; 到 的函数有 个,若 ,则 到 的一一映射有 个.
函数 的图象与直线 交点的个数为 个.
二、函数的三要素:,,.
相同函数的判断方法:① ;② (两点必须同时具备)
(1)函数解析式的求法:
①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法:
(2)函数定义域的求法:
① ,则 ; ② 则 ;
③ ,则 ; ④如:,则 ;
⑤含参问题的定义域要分类讨论;
如:已知函数 的定义域是 ,求 的定义域.
⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定.如:已知扇形的周长为20,半径为 ,扇形面积为 ,则 ;定义域为 .
(3)函数值域的求法:
①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:的形式;
②逆求法(反求法):通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围;常用来解,型如:;
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑥基本不等式法:转化成型如:,利用平均值不等式公式来求值域;
⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域.
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.
求下列函数的值域:① (2种方法);
② (2种方法);③ (2种方法);
三、函数的性质:
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言.
判定方法有:定义法(作差比较和作商比较)
导数法(适用于多项式函数)
复合函数法和图像法.
应用:比较大小,证明不等式,解不等式.
奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系.f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数.
判别方法:定义法,图像法 ,复合函数法
应用:把函数值进行转化求解.
周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期.
其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.
应用:求函数值和某个区间上的函数解析式.