关于常微分方程的一个问题王*版的《常微分方程》书上有个这样两个定理,①若x1(t),x2(2),……,xn(t)在区间a≤t≤b上线性相关,则在[a,b]上它们的朗斯基(Wtonsky)行列式W(t)≡0②如果齐次线性微分方程的解x1(t),x2(t),…,xn(t)在区间a≤t≤b上线性无关,则其朗斯基行列式W(t)在这个区间的任何点上都不等于0,即W(t)≠0(a≤b≤t)书上专门说明了定理①的逆命题不正确,举出来的例子是两个分段函数,分别是x1(t)=t乘以t(-1≤t<0)或0(0≤t≤1),x2(t)=0(-1≤t<0)或t乘以t(0≤t≤1),它们的W(t)≡0,但它们线性相关……我想问的是令W(t)≡0又线性无关的x1(t),x2(t),…,xn(t)是不是一定不是齐次线性微分方程的解函数?它们可不可以是非齐次线性微分方程的解函数?需要证明……谢谢啦定理②成立可知其逆否命题一定成立,故可知若x1(t),x2(t),xn(t)是解函数(条件A),又有其W(t)≡0(条件B)可得x1(
问题描述:
关于常微分方程的一个问题
王*版的《常微分方程》书上有个这样两个定理,①若x1(t),x2(2),……,xn(t)在区间a≤t≤b上线性相关,则在[a,b]上它们的朗斯基(Wtonsky)行列式W(t)≡0②如果齐次线性微分方程的解x1(t),x2(t),…,xn(t)在区间a≤t≤b上线性无关,则其朗斯基行列式W(t)在这个区间的任何点上都不等于0,即W(t)≠0(a≤b≤t)
书上专门说明了定理①的逆命题不正确,举出来的例子是两个分段函数,分别是x1(t)=t乘以t(-1≤t<0)或0(0≤t≤1),x2(t)=0(-1≤t<0)或t乘以t(0≤t≤1),它们的W(t)≡0,但它们线性相关……我想问的是令W(t)≡0又线性无关的x1(t),x2(t),…,xn(t)是不是一定不是齐次线性微分方程的解函数?它们可不可以是非齐次线性微分方程的解函数?需要证明……谢谢啦
定理②成立可知其逆否命题一定成立,故可知若x1(t),x2(t),xn(t)是解函数(条件A),又有其W(t)≡0(条件B)可得x1(t),x2(t),xn(t)线性无关(结论C),我想知道由条件B加上结论C是否可得到条件A
答
W(t)≡0,且x1,x2,…,xn线性无关,那么x1,x2,…,xn一定不是齐次线性方程组的解,∵在证明了解的存在唯一性时,就已经证明了:“x1,x2,x3,…,xn线性无关”等价于“x1(t0),x2(t0),x3(t0),…,xn(t0)线性无关,对任意(也可表...