已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对一切实数x，f（x）≥f′（x）恒成立，其中f′（x）是f（x）的导函数．（I）求证：f（x）的图象与x轴无交点；（II）若方程f（x）-2f′（x）=0有两上不同的实数根x1，x2，求证：|x1−x2|≤23．
问题描述：
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对一切实数x，f（x）≥f′（x）恒成立，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求证：f（x）的图象与x轴无交点；
（II）若方程f（x）-2f′（x）=0有两上不同的实数根x1，x2，求证：|x1−x2|≤2
．
3
答
（I）∵f′（x）=2ax+b 于是f（x）-f′（x）=ax2+（b-2a）x+c-b∵对于一切实数x，都有f（x）≥f′（x）恒成立，故a＞0且△1=（b-2a）2-4a（c-b）=b2-4ac+4a2≤0，于是b2-4ac-4a2＜0，所以f（x）的图象与x轴无...
答案解析：（I）由题意因为二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对一切实数x，f（x）≥f′（x）恒成立，所以先求二次函数导函数，然后有二次函数求出恒成立时，f（x）的图象与x轴无交点；
（II）先求出函数的导函数，因为方程f（x）-2f′（x）=0有两上不同的实数根x1，x2，等价于对应的二次函数的判别式大于0，利用根与系数的关系即可．
考试点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
知识点：此题主要考查了二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，导数的应用等基本知识，同时考查运算能力以及数形结合，函数思想等数学思想方法．