请问怎样用有限覆盖定理证明区间套定理在大学数学分析中的实数理论部分,书中仅仅给出了一个 方向的 证明 但是他们 既然等价 必可以反方向证明

an和bn会收敛于一个数这是很容易就可以得到的——因为an单调有上界,bn单调有下界,而他们的差的极限为零,从而他们极限相等.
重要的是这个极限（设它为t）是所有区间的唯一公共点.唯一性也可以由极限的唯一性得到,剩下的就是它是所有区间的公共点了.
用反证法.
我们先构造一个开区间集,它能覆盖【a0,b0】：对某一x属于【a0,b0】,它若不属于某一个子区间【an0,bn0】,从而当n>n0,有x亦不会属于【an,bn】,从而就存在x的某一个邻域Ex,它与所有n>n0的【an,bn】的交集为空（这里n>n0,而n0的取值跟x的取值有关）.假设这些子区间没有公共点,即所有的x属于【a0,b0】都有这样的结论了,那么所有属于[a0,b0]的x都可以有这样的邻域,所有的邻域放在一起就成为了[a0,b0]的一个开覆盖,按有限覆盖定理,那这些无限个邻域中存在[a0,b0]的有限覆盖,既然是有限个,那就是有有限个x,那与x有关的n0也就只有有限个了,取在这有限个n0的最大值nm,那当n>nm时,[an,bn]就会与这有限个开区间的交集都为空,而那些开区间是整个[a0,b0]的覆盖,当然会覆盖【an,bn】,矛盾,这就说明并不是所有的x都不属于某一个子区间【an0,bn0】,这些所有的子区间是有公共点的（设为s）.
接着就证明这个点就是t就行了：利用夹逼定理,an