已知f(x)=1/1+x.各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f(an).若a2010=a2012,则a20+a11的值是?当n为奇数时,由递推关系得:a3=1/2,a5=2/3,a7=3/5,a9=5/8,a11=8/13又a2010=a2012=1/(1+a2010)当n为偶数时,a2=a2010=a2012其值为方程x1/(1+x)即x^2+x-1=0∴x=(-1±根号5)/2又数列为正数数列,∴a20=(-1+根号5)/2∴a20+a11=(13跟号5+3)/26请问:为什么a2010=a2012=1/(1+a2010),就能得出偶数项都相等.谢谢指教.

问题描述:

已知f(x)=1/1+x.各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f(an).若a2010=a2012,则a20+a11的值是?
当n为奇数时,由递推关系得:
a3=1/2,a5=2/3,a7=3/5,a9=5/8,a11=8/13
又a2010=a2012=1/(1+a2010)
当n为偶数时,
a2=a2010=a2012
其值为方程x1/(1+x)
即x^2+x-1=0
∴x=(-1±根号5)/2
又数列为正数数列,
∴a20=(-1+根号5)/2
∴a20+a11=(13跟号5+3)/26
请问:为什么a2010=a2012=1/(1+a2010),就能得出偶数项都相等.谢谢指教.

这太简单,你可能多想了吧
a2012= 1/(1+a2010) (1)
a2010 = 1/(1+a2008) (2)
from (2)
a2012 = 1/(1+a2008) (3)
from (1) and (3)
a2012 = a2008
Inductively
a2=a4=a6=.a2n