关于左导数和右导数存在且相等,推出可导的疑问.高数同济第六版总习题二 1（2）（2）f(x)在x.的左导数f'-(x.)及右导数f'+(x.)都存在且相等是f(x)在点x.可导的【充分必要】条件.（注：【】内为填入标准答案）可我觉得应该是必要条件,如果f(x)在该点不连续呢? 如分段函数f(x)=x,x=0 在x=0时,左右导数都等于1,可是左右极限不相等,该函数在x=0点不连续,怎么就因为左右导数相等可导了呢?
问题描述：
关于左导数和右导数存在且相等,推出可导的疑问.高数同济第六版总习题二 1（2）
（2）f(x)在x.的左导数f'-(x.)及右导数f'+(x.)都存在且相等是f(x)在点x.可导的【充分必要】条件.（注：【】内为填入标准答案）可我觉得应该是必要条件,如果f(x)在该点不连续呢? 如分段函数f(x)=x,x=0 在x=0时,左右导数都等于1,可是左右极限不相等,该函数在x=0点不连续,怎么就因为左右导数相等可导了呢?
答
这个结论成立的缘由是：函数极限存在的充分必要条件是左右极限存在且相等。把这个函数极限取作lim(x→x0) [f(x(-f(x0)]/(x-x0)，那么这个极限存在代表函数f(x)在x0处可导，左右极限代表左右导数，所以函数在x0处可导的充分必要条件是左右导数存在且相等。
你的错误在于左右导数的求法，不是直接是f(x)=x与f(x)=x+2求导就行了（这个方法的前提是函数已经连续了），应该是用导数的定义
答
f(x)在x.的左导数f'-(x.)及右导数f'+(x.)都存在且相等是f(x)在点x.可导的【充分必要】条件。
这句话是对于初等函数而言的。
分段函数不是初等函数。所以分段函数不适用。
答
可导必定连续的...乃要看清楚概念
按乃所说的分别为[f(x0+h)-f'(x0)]/h,[f(x0-h)-f'(x0)]/h可以看到,因为x0=0时,f(x0)=2,而f(x0+h)-f(x0)=2+h-2=h,f(x0-h)-f(x0)=-h-2二者不等,乃的已知左右导数相等是错误的