已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
问题描述：
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
答
知识点：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得...
答案解析：（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．
（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．
考试点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
知识点：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．