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已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与x轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且 f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．（1）求 ba的取值范围；（2）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得 f（x）在点M的切线斜率为3b？求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）求|AC|的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 10:58:46
问题描述：

已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与x轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且 f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求 

b
a
的取值范围；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得 f（x）在点M的切线斜率为3b？求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求|AC|的取值范围．

答

（1）f（x）=ax3+bx2+cx+d⇒f'（x）=3ax2+2bx+c
由题意得：f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性
所以f'（0）=0
所以c=0
当c=0时，f'（x）=0的另一个根为x＝−

2b
3a

f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
所以2≤−
2b
3a
≤4，
所以−6≤
b
a
≤−3
由题意得：f（x）=ax3+bx2+d=0的三个不同根为2，xA，xC
得f（2）=0
所以d=-8a-4b
f（x）=（x-2）[ax2+（2a+b）x+2（2a+b）]=0
所以ax2+（2a+b）x+2（2a+b）]=0二个不同根为xA，xC，
所以
△＝(2a+b)(b−6a)＞0
，
解得
b
a
＞6或
b
a
＜−2

综上得：−6≤
b
a
≤−3…（5分）
（2）假设在函数f（x）的图象上存在一点M（x0，y0），使得f（x）在点M的切线斜率为3b
则 f'（x0）=3b⇔3ax02+2bx0-3b=0有解（*）
令t＝
b
a
⇒−6≤t≤−3，a，b≠0
得：△=4a2（t2+9t）=4a2t（t+9）＜0与（*）矛盾
在函数f（x）的图象上不存在一点M（x0，y0），使得f（x）在点M的切线斜率为3b…（10分）
（3）由（1）得：
|AC|2＝(xA−xC)2＝(xA+xC)2−4xAxC
|AC|2＝
1
a2
[(2a+b)2−8a(2a+b)]
|AC|2＝t2−4t−12＝(t−2)2−16∈[9，48]
…（14分）
所以3≤|AC|≤4
 3

答案解析：（1）利用函数f（x）的单调区间判断出x=0是函数的极值点，利用函数在极值点处的导数值为0，列出方程求出c的值，将c的值代入导函数，令导函数为0求出方程的两个根即两个极值点，据函数的单调性，判断出根-2b3a与区间端点的关系，列出不等式组求出 
b
a
的取值范围
（2）假设存在，根据导数的几何意义，列出方程，通过判断判别式的符号得到结论．
（3）设出f（x）的三个零点，写出f（x）的利用三个根不是的解析式，将x=2代入，利用韦达定理求出A，C的距离，据（2）求出|AC|的最值．
考试点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

知识点：本题考查极值点处的函数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反；解决二次方程的根的问题常用到韦达定理．

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