已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数,其图象与x轴交于A,B,C三点,若点B的坐标为(2,0),且 f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.(1)求 ba的取值范围;(2)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得 f(x)在点M的切线斜率为3b?求出点M的坐标;若不存在,说明理由;(3)求|AC|的取值范围.

问题描述:

已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数,其图象与x轴交于A,B,C三点,若点B的坐标为(2,0),且 f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.
(1)求 

b
a
的取值范围;
(2)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得 f(x)在点M的切线斜率为3b?求出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(3)求|AC|的取值范围.

(1)f(x)=ax3+bx2+cx+d⇒f'(x)=3ax2+2bx+c
由题意得:f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性
所以f'(0)=0
所以c=0
当c=0时,f'(x)=0的另一个根为x=−

2b
3a

f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,
所以2≤−
2b
3a
≤4

所以−6≤
b
a
≤−3

由题意得:f(x)=ax3+bx2+d=0的三个不同根为2,xA,xC
得f(2)=0
所以d=-8a-4b
f(x)=(x-2)[ax2+(2a+b)x+2(2a+b)]=0
所以ax2+(2a+b)x+2(2a+b)]=0二个不同根为xA,xC
所以
△=(2a+b)(b−6a)>0

解得
b
a
>6或
b
a
<−2

综上得:−6≤
b
a
≤−3
…(5分)
(2)假设在函数f(x)的图象上存在一点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线斜率为3b
则 f'(x0)=3b⇔3ax02+2bx0-3b=0有解(*)
t=
b
a
⇒−6≤t≤−3,a,b≠0

得:△=4a2(t2+9t)=4a2t(t+9)<0与(*)矛盾
在函数f(x)的图象上不存在一点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线斜率为3b…(10分)
(3)由(1)得:
|AC|2=(xAxC)2=(xA+xC)2−4xAxC
|AC|2
1
a2
[(2a+b)2−8a(2a+b)]
|AC|2t2−4t−12=(t−2)2−16∈[9,48]
…(14分)
所以3≤|AC|≤4
3

答案解析:(1)利用函数f(x)的单调区间判断出x=0是函数的极值点,利用函数在极值点处的导数值为0,列出方程求出c的值,将c的值代入导函数,令导函数为0求出方程的两个根即两个极值点,据函数的单调性,判断出根-2b3a与区间端点的关系,列出不等式组求出 
b
a
的取值范围
(2)假设存在,根据导数的几何意义,列出方程,通过判断判别式的符号得到结论.
(3)设出f(x)的三个零点,写出f(x)的利用三个根不是的解析式,将x=2代入,利用韦达定理求出A,C的距离,据(2)求出|AC|的最值.
考试点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

知识点:本题考查极值点处的函数值为0,极值点左右两边的导函数符号相反;解决二次方程的根的问题常用到韦达定理.