为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝12x2−200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

答

（1）由题意可知，
二氧化碳的每吨平均处理成本为：

y

x

＝

1

2

x+

80000

x

−200（4分）
≥2

1 2 x• 80000 x

−200＝200，
当且仅当

1

2

x＝

80000

x

，即x=400时，
才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．（8分）
（2）设该单位每月获利为S，
则S=100x-y （10分）
=100x−(

1

2

x2−200x+80000)＝−

1

2

x2+300x−80000=−

1

2

(x−300)2−35000
因为400≤x≤600，所以当x=400时，S有最大值-40000．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．（16分）
答案解析：（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝

1

2

x2−200x+80000，两边同时除以x，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；
（2）设该单位每月获利为S，则S=100x-y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．
考试点：函数的最值及其几何意义．
知识点：此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和不等式的基本性质，及运用配方法求函数的最值．