已知函数f(x)=1/2lnx+1/x.(1)求函数的单调区间和极值;(2)求证对于任何正整数n>2已知函数f(x)=1/2lnx+1/x.（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证对于任何正整数n>2有2（1+1/2+1/3+……+1/n）+ln(1×2×3×……×n)＞ln(2e)^n；（3）若对于任意x∈[4,+∞]及t∈[-1,1],是否存在实数m,使不等式f(x)≥t^2-2mt+5/4+ln2恒成立,若存在,试求实数m的取值范围
问题描述：
已知函数f(x)=1/2lnx+1/x.(1)求函数的单调区间和极值;(2)求证对于任何正整数n>2
已知函数f(x)=1/2lnx+1/x.（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证对于任何正整数n>2有2（1+1/2+1/3+……+1/n）+ln(1×2×3×……×n)＞ln(2e)^n；（3）若对于任意x∈[4,+∞]及t∈[-1,1],是否存在实数m,使不等式f(x)≥t^2-2mt+5/4+ln2恒成立,若存在,试求实数m的取值范围
答
（1）当x=2时，有f(x)min=f(2)=1/2 ln2+1/2
(2)∵1/2lnx+1/x＞f(x)min=f(2)=1/2 ln2+1/2
∴lnx+2/x＞ ln2+1
∴ 2（1+1/2+1/3+……+1/n）+ln1+ln2+ln3+……+lnn
=(2/1+ln1)+(2/2+ln2)+(2/3+ln3)+....(2/n+lnn) ＞n(ln2+1)=n (lne+ln2)=ln(2e)^n
∴2（1+1/2+1/3+……+1/n）+ln(1×2×3×……×n)＞ln(2e)^n
答
(1)f(x)=1/2lnx+1/xf＇(x)=1/(2x)-1/x²=(x-2)/(2x²)令 f＇(x)=0得驻点x=2f(x)的单调递增区间为x∈[2,+∝﹚f(x)的单调递减区间为x∈﹙0,2]f(x)min=f(2)=1/2 ln2+1/2(2)由（1）已证,当n＞2时,f(n)单调递增∵...