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设直线y=x+b与椭圆x22+y2＝1相交于A，B两个不同的点．（1）求实数b的取值范围；（2）当b=1时，求|AB|．

分类: 作业答案 • 2022-02-20 15:17:57
问题描述：

设直线y=x+b与椭圆

x2
2
+y2＝1相交于A，B两个不同的点．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当b=1时，求|
AB
|．

答

（1）将y=x+b 代入

x2
2
+y2＝1，消去y，整理得3x2+4bx+2b2-2=0．①…（2分）
因为直线y=x+b 与椭圆
x2
2
+y2＝1 相交于A，B 两个不同的点，
∴△=16b2-12（2b2-2）=24-8b2＞0（4分）
∴−
 3
＜b＜
 3
（6分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b=1 时，方程①为3x2+4x=0．…（8分）
解得x1＝0，x2＝−
4
3
．
此时y1＝1，y2＝−
1
3
（10分）
∴|
AB
|=
 (x1−x2)2+(y1−y2)2
=
4
 2
3
（12分）
（利用弦长公式也可以）
答案解析：（1）由直线y=x+b 与
x2
2
+y2＝1由2个交点可得方程
y＝x+b
x2
2
+y2＝1 
有2个不同的解，整理得3x2+4bx+2b2-2=0有2个解△=16b2-12（2b2-2）＞0，解不等式可求
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b=1 时，可求A，B的坐标，代入公式|
AB
|=
 (x1−x2)2+(y1−y2)2
可求或利用弦长公式
考试点：直线与圆锥曲线的关系．
知识点：本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，方程思想的应用是解答直线与曲线位置关系的常用工具，要注意体会掌握

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