若关于x的不等式|x-1|+|x+2|＞a2+a+1（x∈R）恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A. （-1，2）B. （-∞，-1）∪（2，+∞）C. （-2，1）D. （-∞，-2）∪（1，+∞）
问题描述：
若关于x的不等式|x-1|+|x+2|＞a2+a+1（x∈R）恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. （-1，2）
B. （-∞，-1）∪（2，+∞）
C. （-2，1）
D. （-∞，-2）∪（1，+∞）
答
∵关于x的不等式|x-1|+|x+2|＞a2+a+1（x∈R）恒成立，
∴（|x-1|+|x+2|）的最小值＞a2+a+1，
又|x-1|+|x+2|≥|x-1-（x+2）|=3，
∴a2+a+1＜3，
解之得：a∈（-2，1）．
故选C．
答案解析：欲使得：“关于x的不等式|x-1|+|x+2|＞a2+a+1（x∈R）恒成立”，只须a2+a+1小于左式的最小值即可，故问题转化为先求左式的最小值，再解一个不等式即可．
考试点：绝对值不等式．
知识点：本题主要考查了绝对值不等式及其解法，还考查了恒成立问题的解法．一般地，若a＜f（x）恒成立，只须a小于f（x）的最小值即可．