求sin18°=?sin3°=?通过计算求其精确值,不要近似值...
问题描述：
求sin18°=?sin3°=?
通过计算求其精确值,不要近似值...
答
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcosαcosα+(1-2sinαsinα)sinα
=2sinα(1-sinαsinα)+sinα-(sinα)^3=3sinα-4(sinα)^3
顶点为36度的等腰三角形设底边是1，则腰是（1+根号5）/2（根据黄金分割），作底边上的高，则sin18度=（1/2）/〔（1+根号5）/2〕=（根号5-1）/2
sin3°还是可以根据 十倍角公式类似的求
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
答
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinα(cosα)^2+(1-2(sinα)^2)sinα
=2sinα[1-(sinα)^2]+(1-2(sinα)^2)sinα
=2sinα-2(sinα)^3+sinα-2(sinα)^3
=3sinα-4(sinα)^3
sin（2×18°）＝cos（3×18°）
2sin18°cos18°＝4(cos18°)^3－3cos18°
∵cos18°≠0
∴2sin18°＝4(cos18°)^2－3
整理得4(sin18°)＾2＋2sin18°－1＝0
解得sin18°＝（根号5－1）/4
通过sin30°,求得sin15°,通过sin18°,sin15°,求得sin3°