什么叫互为反函数

1.反函数的概念
设y＝f(x)表示y是自变量x的函数,它的定义域为A,值域为C,从式子y＝f(x)中解出x,得到式子x＝φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x＝φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x＝φ(y)(y∈C)叫做函数y＝f(x)(x∈A)的反函数,记作x＝f-1(y),通常将它改写成y＝f-1(x).
函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域.
函数y＝f(x)的图像和它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.
2.反函数概念的理解
反函数实质上也是函数.
反函数是相对于原函数而言,换句话说,反函数不能脱离原函数而单独存在.
并不是所有的函数都有反函数.例如函数y＝x2没有反函数.只有原象唯一的函数,即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值).
如果函数y＝f(x)有反函数y＝f-1(x),那么函数y＝f(x)也是其反函数y＝f-1(x)的反函数,即它们互为反函数.
函数y＝f(x)的定义域和值域分别是其反函数y＝f-1(x)的值域和定义域.
反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如,函数y＝ (x∈Z)不是函数y＝2x(x∈Z)的反函数,因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此,求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)时,必须确定原来函数y＝f(x)的值域.
3.求给定解析式的函数y＝f(x)的反函数,其步骤为：
(1)从方程y＝f(x)中解出x＝f-1(y);
(2)将x、y互换,得到y＝f-1(x);
(3)根据y＝f(x)的值域,写出y＝f-1(x)的定义域.
互为反函数的两个函数如果有解析式,一般是不同的,但也有相同的.例如函数y＝x的反函数仍是y＝x,函数y＝ 的反函数仍是y＝ .
4.互为反函数图像间的关系
在同一个直角坐标系中,函数y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.特别地,当函数与其反函数相同时,函数的图像本身关于直线y＝x对称.
在y＝f(x)与x＝f-1(y)中,x、y所表示的量相同,但是地位不同.在y＝f(x)中,x是自变量,y是x的函数；在x＝f-1(y)中,y是自变量,x是y的函数.在同一个直角坐标系中,y＝f(x)与x＝f-1(y)的图像是同一个点集.
5.反函数具备的其它性质
在y＝f(x)与y＝f-1(x)中,x、y所处的地位相同,但表示的量的意义不同.
若y＝f(x)(x∈A),与y＝f-1(x)(x∈C)互为反函数,则有
f［f-1(x)］＝x(x∈C)；
f-1［f(x)］＝x(x∈A).
互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性.
奇函数若有反函数,则其反函数也是奇函数.
具有单调性的函数必有反函数.
两个互为反函数的图像如果有交点,它们的交点不一定在直线y＝x上.