当X趋于1时,X的N次幂-1再除以(X-1)的极限等于多少?WHY可我只学到高数1的极限的运算法则,没法用求导,洛比答法则还没学过呀,给点低级的方法好吗,繁点没关系,thank you!
问题描述：
当X趋于1时,X的N次幂-1再除以(X-1)的极限等于多少?WHY
可我只学到高数1的极限的运算法则,没法用求导,洛比答法则还没学过呀,给点低级的方法好吗,繁点没关系,thank you!
答
等于n，用洛比答法则
求当x->1时，lim((x^n-1)/（x-1)),设x=1+y
于是，上面转化为求y->0时，lim(((y+1)^n-1)/y)
上下都求其导数的lim((n*(y+1)^(n-1))/1)=n
哦，期中都过了还没学到那里
那可以这样做
上面变成了求((y+1)^n-1)/y这个式子的极限啦
然后有令（1+y)^n-1=z,当y->0，有z->0
然后，在公式（1+y)^n=z+1中，取对数
n*ln(1+y)=ln(1+z),这样
((y+1)^n-1)/y=z/y=z/ln(1+z) * n * ln(1+y)/y ->n,当y->0时
ln(1+x)/x极限为1不难证明吧 ：）
答
(Xn-1)/(x-1)=xn-1+xn-2…＋x+1=n (当x趋于1时)；类似的可以用洛比托法则，上下求导，同样是这个结果，都是n。
答
∵X的N次幂-1=(X-1)〔X(N-1)次幂+X(N-2)次幂*1+***+X*1(N-2)次幂+1(N-1)次幂〕
=(X-1)〔X(N-1)次幂+X(N-2)次幂+***+X+1〕
∴X的N次幂-1/(X-1)=X(N-1)次幂+X(N-2)次幂+***+X+1
=N(当x趋于1时)