切比雪夫大数定律 X1.X2.为什么可以是两两不相关的?难道不相关与独立等价吗?不相关推不出来等价吧?

【lz看看题目是不是要求X1、X2...是（0~1）分布或者是特殊的正态分布】切比雪夫大数定律要求X1,X2,X3.Xn（n>1）独立,且有相同的期望、方差,此时(∑Xk/n)依概率收敛于它们共同的期望（k：1→n）.如果不相关而不是独立...我听考研辅导班的时候，说的是定义可以是两两不相关。而且我看了些其他大学的课件也都可以呢。 另外，正态分布不是当且仅当二维时：独立与不相关才等价吗？

1. 正态分布X1，X2，X3........Xn（n>1）的联合概率密度是正态分布，那么这个正态分布就是n维正态分布。

2. 不相关只能推出EXy=EX*EY，不能得到f(xy)=f(x)f(y)，所以应该需要独立吧，我看到的考研参考书和教材都说是要独立的。（我的参考书是北京领航强化班讲义）

1. 因为X,Y不相关可以得到结论：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X，Y)=D(X)+D(Y)。

2. 切比雪夫不等式对于任意Ex，Dx存在，都有：P{|X-EX|<ε}≥1-Dx/ε^2，

3. 所以当X1，X2........Xn两两不相关时，（记Y=ΣXi/n）EY=EXi，DY=D(ΣXi/n)=(1/n^2)*D(ΣXi)=(1/n^2)*ΣD(Xi)，令任意DXi≤M，则有DY≤M/n。

4. 所以根据切比雪夫不等式：P{|Y-EY|<ε}≥1-(DY/n)/ε^2，当n→+∞时，(DY/n)/ε^2→0，即P{|Y-EY|<ε}≥1，又因为概率恒小于等于1，所以P{|Y-EY|<ε}=1.

5. 【总结】：关键是用到不相关时相关系数等于零；如果相关系数不等于零，那么得不到DY=(1/n^2)*ΣD(Xi)，此时n→+∞，DY不一定趋于0，所以切比雪夫大数定律就不一定成立了。