求函数f(x)=ln(1+x)−1/4x2在[0,2]上的最大值和最小值.
问题描述:
求函数f(x)=ln(1+x)−
x2在[0,2]上的最大值和最小值. 1 4
答
f′(x)=
−1 1+x
x,1 2
令
−1 1+x
x=0,1 2
化简为x2+x-2=0,解得x1=-2(舍去),x2=1.
当0≤x<1时,f'(x)>0,f(x)单调增加;
当1<x≤2时,f'(x)<0,f(x)单调减少.
所以f(1)=ln2−
为函数f(x)的极大值.1 4
又因为f(0)=0,f(2)=ln3-1>0,f(1)>f(2),
所以f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值,
f(1)=ln2−
为函数f(x);1 4
在[0,2]上的最大值.