求函数f(x)=ln(1+x)−1/4x2在[0,2]上的最大值和最小值.

问题描述:

求函数f(x)=ln(1+x)−

1
4
x2在[0,2]上的最大值和最小值.

f′(x)=

1
1+x
1
2
x,
1
1+x
1
2
x=0

化简为x2+x-2=0,解得x1=-2(舍去),x2=1.
当0≤x<1时,f'(x)>0,f(x)单调增加;
当1<x≤2时,f'(x)<0,f(x)单调减少.
所以f(1)=ln2−
1
4
为函数f(x)的极大值.
又因为f(0)=0,f(2)=ln3-1>0,f(1)>f(2),
所以f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值,
f(1)=ln2−
1
4
为函数f(x);
在[0,2]上的最大值.