已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(根号3,-1)(1)若|c|=2|a|,且c//a,求c点坐标(2)若12a+7b与a-b垂直,且b与a的夹角为120°,求|b|
问题描述：
已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(根号3,-1)(1)若|c|=2|a|,且c//a,求c点坐标(2)若12a+7b与a-b垂直,且b与a的夹角为120°,求|b|
答
解:设向量c=(x,y), ∵向量c∥向量a
则 √3y-(-1)x=0.
x=-√3y (1).
又,|c|=2|a|, 即 x^2+y^2=4*2.
x^2+y^2=8 (2).
将(1)代人(2),得: (-√3y)^2+y^2=8.
4y^2=8,
y^2=2.
y=±√2.
y1=√2,
y2=-√2.
x=-(√3*±√2).
x1=-√6,
x2=√6.
∴向量c的坐标为:c=(-√6,√2)或c=(√6,-√2).
(2) ∵向量(12a+7b)⊥向量(a-b), ∴(12a+7b).(a-b)=0.
即, 12a^2-5ab-7b^2=0.
12a^2-5|a||b|cos120°-7|b|^2=0.
12*(2)^2-5*2|b|*(-1/2)-7|b|^2=0
7|b|^2-5|b|-48=0.
(7|b|+16)(|b|-3)=0.
7|b|+16=0,7|b|=-16,绝对值不能为负,故去掉.
|b|-3=0.
∴|b|=3.