已知关于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)若方程C表示圆,求m的取值范围; (2)若圆C与圆x2+y2-8x-12y+36=0外切,求m的值; (3)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且|MN|=455

问题描述:

已知关于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若方程C表示圆,求m的取值范围;
(2)若圆C与圆x2+y2-8x-12y+36=0外切,求m的值;
(3)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且|MN|=

4
5
5
,求m的值.

(1)把方程C:x2+y2-2x-4y+m=0,配方得:(x-1)2+(y-2)2=5-m,
若方程C表示圆,则5-m>0,解得m<5;
(2)把圆x2+y2-8x-12y+36=0化为标准方程得:(x-4)2+(y-6)2=16,得到圆心坐标(4,6),半径为4,
则两圆心间的距离d=

(4−1)2+(6−2)2
=5,
因为两圆的位置关系是外切,所以d=R+r即4+
5−m
=5,解得m=4;
(3)因为圆C圆心C的坐标为(1,2),则圆心C到直线l的距离d=
1
5
=
5
5

所以(
5−m
)
2
=(
1
2
|MN|)2+d2,即5-m=1,解得m=4.