已知i是数学单位,若复数z1=cosα+isinα.z2=cosβ+isinβ满足|z1-z2|=2倍根号5/5.(1)求cos(α-β)的值 (2)若-π/2<β<0<α<2/π,且sinβ=-5/13,求sinα的值

问题描述:

已知i是数学单位,若复数z1=cosα+isinα.z2=cosβ+isinβ满足|z1-z2|=2倍根号5/5.(1)求cos(α-β)的值 (2)若-π/2<β<0<α<2/π,且sinβ=-5/13,求sinα的值

(1)|z1-z2|=2√5/5 带入复数,整理有√【(cosα-cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα-sinβ)(sinα-sinβ)】=2√5/5
利用cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) 显然有cos(α-β)=3/5
(2)-π/2<β<0<α<2/π 则有α-β∈(0,0.5π) (因为cos(α-β)=3/5>0)
所以α=β+arccos3/5
sinβ=-5/13 则有cosβ=12/13
所以sinα=sin(β+arccos3/5)=0.6*sinβ+0.4*cosβ=33/65
备注:解题中使用了三角函数sin(x+y),cos(x-y)的展开式