假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200km 的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，地球同步卫星距地面高度为36000km，宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，每当二者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为（　　）A. 4次B. 6次C. 7次D. 8次

答

据开普勒第三定律

R 3 1

R 3 2

＝

T 2 1

T 2 2

                 （1）
   R₁=4200km+6400km      R₂=36000km+6400km     （2）
  可知载人宇宙飞船的运行周期T₁与地球同步卫星的运行周期T₂之比为

1

8

，又已知地球同步卫星的运行周期为一天即24h，因而载人宇宙飞船的运行周期T₁=

24

8

h=3h
由匀速圆周运动的角速度ω=

2π

T

，所以宇宙飞船的角速度为

2π

3

h，同步卫星的角速度为

π

12

h
因为两者运行的方向相同，因而可以视作追击问题．又因为是由两者相距最远的时刻开始，而两者处于同一直线且非位于地球同一侧时，二者相距最远，此时追击距离为π即一个半圆，追击时间为

π

( 2π 3 − π 12 )

h＝

12

7

h．
此后，追击距离变为2π即一个圆周，同理，追击时间为

2π

( 2π 3 − π 12 )

h＝

24

7

h．
可以得到24h内共用时

156

7

h完成追击7次，即七次距离最近，因而发射了七次信号．
答案解析：地球同步卫星与宇宙飞船均绕地球做圆周运动，则它们的半径的三次方之比与公转周期的二次方之比相等．当它们从相距最近到相距最远，转动的角度相差（2nπ+π）（n=0、1、2、…）．
考试点：开普勒定律．
知识点：从相距最近再次相距最近，它们转动的角度相差360度；当从相距最近到再次相距最远时，它们转动的角度相差180度．