设α为n维列向量,α^Tα=1,方阵A=E-αα^T,试证|A|=0
问题描述：
设α为n维列向量,α^Tα=1,方阵A=E-αα^T,试证|A|=0
答
A^2=E^2-Eaa^T-aa^TE+a(a^Ta)a^T=E-aa^T=A，所以|A^2|=|A|^2=|A|，|A|=0或|A|=1。若A=1，则A可逆，由A^2=A=AE得A=E，与A定义矛盾
答
右乘α 得 Aα=α-αα'α=α-α=0
下面反证
A为方阵,假设|A|≠0
则A可逆 即 α=0；这明显与α‘α=1矛盾 假设不成立
故|A|=0