余数定理是什么?

多项式余数定理是指一个多项式 f(x) 除以一线性多项式 x - a 的余数是 f(a).
例如,(5x3 + 4x2 - 12x + 1) / (x - 3) 的余数是 5(3)3 + 4(3)2 - 12(3) + 1 = 136
例题：
在纽约一个帕特里克节日里,一大群爱尔兰人正准备一年一度的游行,指挥者试图把队伍排成10、9、8、7、6、5、4、3、和2路整齐的队伍前进,但每种情况下最后一排者都少一个人,因此人们认为这个位置大概是给几个月前刚死的卡茜的灵魂留着的.最后,指挥者无可奈何命令队伍排单列纵队前进.假设游行队伍的总人数不超过5000人,那么参加此次游行的共计有多少人?这是一道寻找一系列数字的最小公倍数的极好的练习.这种情形下的最小公倍数是2520,如果去掉“卡茜”所占的位置,最终答案是2519.
如果每一次分配后剩下的人数是各不相同的,则问题似乎都比较困难.其实不然.比如追溯到十七世纪,印度算术课本上有这样一道难题：一位挎着一篮鸡蛋的妇女被疾驰而过的马所惊,鸡蛋篮掉在了地上,篮子里的鸡蛋全碎了.当问及篮子里有多少蛋时,她只能记起当她以2、3、4、5为一组数鸡蛋的数目时,每次分别剩余1、2、3、4只鸡蛋.那么她篮子里原来盛有多少鸡蛋呢?
这题乍看确实比上题难得多.实际上,它与我们做过的第二题的第一部分一样,因为在每种情形下,余数都比除数少1,因此与前面一样,它可以通过寻找最小公倍数再减去1来解决.
当余数与除数没有固定关系时,问题就会真正变得变杂了.下面是一道以这类题为基础,借助计算器来进行的魔术,你将发现它是既有趣又迷惑人的.
魔术师背对观众坐在一张椅子上,让某位观众心中随意想定一个不超过1000的数,然后用7去除这个数并报出余数；然后再用11去除原来想定的数,然后再用13去除,并都报出余数.
为加快这一魔术的进行,这位观众用袖珍计算器算出三个余数.其实这借助下面算法很容易解决：先完成除法,去掉商的整数部分,再将剩下的分数部分乘以原来的除数,得出的结果即为要找的余数.
魔术师不仅仅知道三个余数,他之所以能猜算观众想的那个数字,缘由在于他也使用了袖珍计算器和贴在计算器上面小纸条上的公式：即：
K=(715a+364b+924c)/1001(其中K为要求的数)
在这个公式中,a、b、和c分别代表三个被报出来的余数,所求的数就是通过此公式计算出来的余数.
通俗来讲,举个例子：
5÷3=1……2（这里1是商,2是余数）
5÷2=2……1（这里2是商,1是余数）
6÷3=2……0（这里2是商,0是余数）
“=”后面的得数是商,“……”后面无法整除的数就是余数.