R的完备性是怎么回事儿?（对极限的运算封闭怎么理解?）

R的完备性就是说R上的Cauchy序列（也叫基本序列）都收敛.要理解这个问题最好和实数的连续性放在一起看,并且要结合有理数进行思考,因为有理数不具有完备性.
实际上Cauchy序列其实已经描述了收敛性,也就是说如果一个序列是Cauchy序列,那么它“确实是收敛的,只是收敛的极限不知道在哪里”.这个讲法当然不严格,不过可以帮助理解.
对于有理数而言,有理数域上的Cauchy序列的极限不一定是有理数,所以 在有理数域上 某些Cauchy序列是发散的（不是真的发散,只是极限是无理数,并不在有理数域内）,而在实数域上则没有这个问题,所有Cauchy序列的极限都是实数.
实数基本的等价定理有7条,除了表示完备性的Cauchy收敛原理外还有关于连续性和局部紧性的定理（当然其中连续性是最直观的）,要充分理解R的完备性就需要把这些定理都好好体会一下,并且随时比较为什么这些性质在有理数域上不成立.