如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°． （1）求证：△CPA∽△APB； （2）试求tan∠PCB的值．
问题描述：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．
（1）求证：△CPA∽△APB；
（2）试求tan∠PCB的值．
答
（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，
又在△APB中，∠APB=135°，
∴∠PBA+∠PAB=45°，
∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC，
∴△CPA∽△APB．
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴
＝CA AB
，1
2
又∵△CPA∽△APB，
∴
＝CP PA
＝PA PB
＝CA AB
，1
2
令CP=k，则PA＝
k，PB＝2k，
2
又在△BCP中，∠BPC=360°-∠APC-∠APB=90°，
∴tan∠PCB＝
＝2．PB PC