如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点. (Ⅰ)求证:BD⊥FG;(Ⅱ)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由.

问题描述:

如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.

(Ⅰ)求证:BD⊥FG;
(Ⅱ)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由.

证明:(Ⅰ)∵PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,其对角线BD,AC交于点E,
∴PA⊥BD,AC⊥BD,
∴BD⊥平面PAC,
∵FG⊂平面PAC,
∴BD⊥FG(7分)
解(Ⅱ):当G为EC中点,即AG=

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AC时,
FG∥平面PBD,(9分)
理由如下:
连接PE,由F为PC中点,G为EC中点,知FG∥PE,
而FG⊄平面PBD,PE⊂平面PBD,
故FG∥平面PBD.(13分)