已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD． （1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由； （2）若AP不过圆
问题描述：
已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧
上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．BC
（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；
（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
答
（1）如图①，△PDC为等边三角形．
（2分）
理由如下：
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°
∴∠BAP=∠PAC=
∠BAC=30°1 2
∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°
∴△PDC为等边三角形；（6分）
（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）
理由如下：
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°
∴△PDC为等边三角形．（12分）