大学微积分,关于偏导和全微分的两道习题

你需要注意,偏导数和微分是不同的
(偏z/偏x)和(dz/dx)只是看起来像
它们有一个最大的不同就是,(dz/dx)中的dz和dx分开也是有意义的
但是(偏z/偏x)如果分开就没有意义了
对z=z(x,y)
dz=(偏z/偏x)dx+(偏z/偏y)dy
所以求偏导数有两个基本方法
一是把y当常数,把z看成z(x,y0)=z(x)
这样做的结果是上式中的dy=0,此时有dz=(偏z/偏x)dx,即dz/dx=(偏z/偏x)
所以用一元函数求导的方法就可以求出偏导数
(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)
第二种方法是完整求出z的全微分,用比较系数法,其中dx的系数就是(偏z/偏x)
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)
显然dx的系数为(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)
如果想求dz/dx,就要继续把dy化成dx将dy=ydx代入上式
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)=(ydx+xydx)/(1+x^2y^2)=y(1+x)dx/(1+x^2y^2)
所以dz/dx=y(1+x)/(1+x^2y^2)
为了方便起见我没有把y=e^x代入结果,如果是题目直接问的一般要换,否则不用
对第二道题,由于u没有具体的表达式,所以没有办法用上述的第一种方法来算,只能用第二种方法答案上算的偏z\偏x确实是你的答案。。我不明白的是，“如果想求dz/dx，就要继续把dy化成dx将dy=ydx代入上式”，那求偏导的时候为什么不能也把dy带入式子、合并呢？或者在求导之前，先把y变成e^x，求一元函数的导数，得出的答案也不对（当然也有可能是答案错了。）如果说是因为求偏导要把y看成常数的话，那第二题也是求偏导，也是用第二种方法，却可以把dy、dz化成dt、dx然后合并，这是为什么呢。。。不知道我说清楚了没。。用方法一求偏导数的时候已经假设y为常数,即dy=0,所以不存在使用dy的情况,也不能把y变成e^x,因为e^x不是常数而用方法二的时候,是用对比系数,要是把dy代进去了意义就不对了第二题所有的函数都没有解析式,所以情况稍有不同,计算结果要借助复合函数我就只说明你不清楚的一点虽然u=f(x,y,z)但是(偏u/偏x)并不等于(偏f/偏x)事实上后者等于前者的一部分因为在计算(偏u/偏x)时是假设dt=0而计算(偏f/偏x)时是假设dy=0且dz=0这里你看题目让求的是(偏u/偏x)，(偏u/偏t)，所以要把u表示成x和t的函数，即u=u(x,t)但是我们并没有u，x，t的关系式，所以我们只能借助复合函数的微分关系来计算与第一题有解析形式的相比，第一题中的最后结果只能含自变量x而第二题的结果却含有乱七八糟的其它中间变量的偏导数