x+y=xy 求xy最小值 为什么可以直接用基本不等式 即 x+y≥2根号下xy两边都是变量 x 和y都大于0 但是两边都是变量 没有满足2定 为什么可以直接用基本不等式?
问题描述：
x+y=xy 求xy最小值 为什么可以直接用基本不等式 即 x+y≥2根号下xy
两边都是变量 x 和y都大于0 但是两边都是变量 没有满足2定 为什么可以直接用基本不等式?
答
还记得(a-b)(a-b)=aa-2ab+bb≥0吗？aa-2ab+bb≥0可变形为aa+bb≥2ab，取a=√x，b=√y代入就得到x+y≥2√(xy)。
答
因为
x+y-2根号下xy
=(根号x-根号y)²>=0
所以
x+y-2根号下xy>=0
所以 x+y≥2根号下xy
答
这个是均值不等式
考虑(a-b)^2≥0
展开得
a^2+b^2-2ab≥0
a^2+b^2≥2ab （1）
可见等号成立时,当且仅当a=b
如果令x=a^2,y=b^2
代入（1）就有
x+y≥2√（xy)当且仅当x=y时等号成立