设n维复矩阵A是正规矩阵（即A^{*}乘A=A乘A^{*},A^{*}是A的共轭转置）,证明全空间=Ker(A)直和Im(A).

把A酉对角化之后就显然了谱分解定理是正规矩阵的基本性质，这种方法需要优先掌握。

当然，不做对角化肯定也是可行的。
首先看到 Ax=0 A^*Ax=0 x^*A^*Ax=0 x^*AA^*x=0 AA^*x=0 A*x=0，这样就得到Ker(A)=Ker(A^*)=Ker(AA^*)=Ker(A^*A), 再考察空间的维数可以知道Im(A)=Im(AA^*), Im(A^*)=Im(A^*A).
然后证明C^n=Ker(A)+Im(A): 任取C^n中的向量x，A^*x∈Im(A^*)=Im(A^*A)，所以存在y使得A^*x=A^*Ay，再令z=x-Ay，那么A^*z=0 => Az=0，这样就得到了拆分x=Ay+z，Ay∈Im(A)，z∈Ker(A).
要进一步证明直和就容易了，比如说验证Ker(A)和Im(A)的交集是{0}，或者用维数dim Ker(A)+dim Im(A)=n。