一道函数题
问题描述：
一道函数题
已知函数f(x)= x/(x²+1) + mx/(1+x)在区间(-1,1)上有且仅有两个不同的零点,求实数m的取值范围
我是用分离常数法做的
令f(x)=0
m=-(x+1)/(x²+1)
令t=x+1
m=-t/[(t-1)²+1]
∵x∈(-1,1)
∴t∈(0,2)
∴m
答
你这样做只是表明了在(-1,1)有零点时的m的取值,但没表明有且只有2个零点这一个条件.
具体做法如下：
因为f(0)=0,故x=0为其中一个零点.
去掉该零点后,1/(x^2+1)+m/(x+1)=0在(-1,1)有唯一零点,
且此零点不为0,即1/1+m/1≠0,得m≠-1
去分母：x+1+m(x^2+1)=0
记g(x)=mx^2+x+m+1=0
m=0时,方程为x+1=0,在(-1,1)无零点,不符
m≠0时,为2次方程,
若有等根,则有1-4m(m+1)=0,得4m^2+4m-1=0,得m=(-1+√2)/2,或(-1-√2)/2, 此时等根为x=-1/(2m)=-(1+√2)或√2-1, 前者不符,所以有m=(-1-√2)/2符合
若无等根,则有g(-1)g(1)