高数连续函数等价无穷小问题求证明过程,已知f(x)连续且有一阶导,x->0时lim[f(x)/x]=1,则易得f(0)=0
问题描述：
高数连续函数等价无穷小问题求证明过程,已知f(x)连续且有一阶导,x->0时lim[f(x)/x]=1,则易得f(0)=0
f(0)=0是怎么得出来的?小弟的推理过程如下：由x->0时lim[f(x)/x]=1知limf(x)与x为等价无穷小,所以x->0时limf(x)=0,又因为f(x)连续,所以x->0时limf(x)=f(0),故f(0)=0让我想不通的是由x->0时lim[f(x)/x]=1怎么确定limf(x)与x一定为等价无穷小?思路是哪里错了?
答
由x->0时lim[f(x)/x]=1可以得到以下推理：
因为lim[f(x)/x]=1是存在的,并且limx=0,所以必有limf(x)=0,
则得到x与f(x)都是无穷小,
两个无穷小的比的极限是1,则这两个无穷小就是等价无穷小.您好，如何由lim[f(x)/x]=1存在，且limx=0推出limf(x)=0？当分母趋于0，而分式极限存在为定值时，分子的极限比为0。理由如下：如果分子的极限是定值并且不是0，则分式的极限为无穷；如果分子的极限是无穷，则分式的极限为无穷；如果分子的极限不存在，则分式的极限不存在。