设f（x）=x2+ax+b，求证：||f（1）|，|f（2）||f（3）|中至少有一个不小于1/2．
问题描述：
设f（x）=x2+ax+b，求证：||f（1）|，|f（2）||f（3）|中至少有一个不小于
． 1 2
答
证明：∵f（x）=x2+ax+b
∴f（1）=1+a+bf（2）=4+2a+bf（3）=9+3a+b，
所以f（1）+f（3）-2f（2）=（1+a+b）+（9+3a+b）-2（4+2a+b）=2．
假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于
，1 2
则 |f(1)|＜
，|f(2)|＜1 2
，|f(3)|＜1 2
，1 2
即有 −
＜f(1)＜1 2
−1 2
＜f(2)＜1 2
−1 2
＜f(3)＜1 2
1 2
∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
由正面可知f（1）+f（3）-2f（2）=2，
与-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．