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设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|=22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．

分类: 作业答案 • 2022-01-13 13:09:38
问题描述：

设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|=2

2
，OC的斜率为
2
2
，求椭圆的方程．

答

设A（x1，y1），B（x2，y2），那么A、B的坐标是方程组

ax2+by2＝1
x+y−1＝0
的解．
由ax12+by12=1，ax22+by22=1，两式相减，得
a（x1+x2）（x1-x2）+b（y1+y2）（y1-y2）=0，
因为
y1−y2
x1−x2
=-1，
所以
y1+ y2
x1+x2
=
a
b
，
即
2yc
2xc
=
a
b
，
yc
xc
=
a
b
=
2
2
，所以b=
2
a①
再由方程组消去y得（a+b）x2-2bx+b-1=0，
由|AB|=
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