微积分1 多元函数极值问题

将z改写为z=2(x-2)^2-2y+1 得y=(x-2)^2+(1-z)/2
求z的范围,也就是找出抛物线y=(x-2)^2在给定的椭圆范围内能够平移的范围,即(1-z)/2的范围
从几何图像上不难得到(1-z)/2取最大值和最小值时,抛物线y=(x-2)^2+(1-z)/2与椭圆是相切的,而切点处斜率相等,所以下面利用一下导数
抛物线dy/dx=2(x-2) (1)
椭圆4x+2y*dy/dx=0 dy/dx=-2x/y=-2x/±√1-2x^2 (2)
联立(1),(2) 得2(x-2)=-2x/±√1-2x^2
整理得x^4-4x^3+4x^2+2x-2=0
解得x1=0.6285,y1=0.4582时,z的最小值为3.8456
x2=-0.6838,y2=-0.2548时,z的最大值为15.91484和16应该是四舍五入后的结果，一元四次方程求根虽然很麻烦，但还是有解析解的 将x^4+bx^3+cx^2+dx+g=0转为两个二次方程求 x^2+(b+√(8y+b^2-4c))*x/2+(y+(by-d)/√(8y+b^2-4c))=0 x^2+(b-√(8y+b^2-4c))*x/2+(y-(by-d)/√(8y+b^2-4c))=0 求出的四个根就是原方程的解（本题包括两个实根和两个共轭复根） 其中y是三次方程8y^3-4cy^2+(2bd-8g)y+g(4c-b^2)-d^2=0的任一实根 也就是说一个一元四次方程要通过求解一个三次方程和两个二次方程才能解决