平面上有n个圆,其中每两个圆之间都相交于两个点,每三个圆都无公共点,它们将平面分成f(n)块区域,则f(n)的表达式是(  ) A.2n B.2n-(n-1)(n-2)(n-3) C.n3-5n2+10n-4 D.n2-n+2

问题描述:

平面上有n个圆,其中每两个圆之间都相交于两个点,每三个圆都无公共点,它们将平面分成f(n)块区域,则f(n)的表达式是(  )
A. 2n
B. 2n-(n-1)(n-2)(n-3)
C. n3-5n2+10n-4
D. n2-n+2

∵一个圆将平面分为2份
两个圆相交将平面分为4=2+2份,
三个圆相交将平面分为8=2+2+4份,
四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份,

平面内n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且任意三个圆不相交于同一点,
则该n个圆分平面区域数f(n)=2+(n-1)n=n2-n+2
证明:(1)当n=1时,一个圆把平面分成两个区域,而12-1+2=2,命题成立.
(2)假设n=k(k≥1)时,命题成立,即k个圆把平面分成k2-k+2个区域.
当n=k+1时,第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点,这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧,
而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分,因此增加了2k个区域,
共有k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域.
∴n=k+1时,命题也成立.
由(1)、(2)知,对任意的n∈N*,命题都成立.
故选D.