如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB． （1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数； （2）若AC=23，求证：△ACD∽
问题描述：
如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．
（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；
（2）若AC=2
，求证：△ACD∽△OCB．
3
答
（1）连接OA，
∵OA=OB=OD，
∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，
∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，
由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．
（2）证明：过O作OE⊥AB于点E，垂足为E，
∵OE过O，由垂径定理得：AE=BE，
∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，
∴OE=
OB=2，1 2
由勾股定理得：BE=2
=AE，
3
即AB=2AE=4
，
3
∵AC=2
，
3
∴BC=2
，
3
即C、E两点重合，
∴DC⊥AB，
∴∠DCA=∠OCB=90°，
∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=2
，
3
∴
=AC OC
=CD BC
，
3
∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．