数论题,求解.
问题描述：
数论题,求解.
设f(x)为一多项式,a,b,c,d为整数.已知f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=7, 求证：不存在整数e使得f(e)=14..
答
题中,a,b,c,d应该是不同的整数.
f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=7
==》存在一多项式g(x), 使得f(x)=g(x)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+7
反证：
如果存在 f(e)=14, 则： g(e)(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)+7=14
g(e)(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)=7
左边的5个因子都是整数,且 (e-a),(e-b),(e-c),(e-d) 都各不相同. 这显然不可能,因为其中最多只可能有一个 因子 是7 （或-7）,剩下只有 1, -1 两个不同因子,不可能有四个不同因子.矛盾!
所以结论成立.