已知数列{an}的前n项和为Sn，且（a-1）Sn=a（an-1）（a＞0）（n∈N*）． （Ⅰ）求证数列{an}是等比数列，并求an； （Ⅱ）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N*都有
问题描述：
已知数列{an}的前n项和为Sn，且（a-1）Sn=a（an-1）（a＞0）（n∈N*）．
（Ⅰ）求证数列{an}是等比数列，并求an；
（Ⅱ）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N*都有Sn∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
答
（Ⅰ）当n=1时，∵（a-1）S1=a（a1-1），∴a1=a（a＞0）（1分）
n≥2时，由（a-1）Sn=a（an-1）（a＞0）
得（a-1）Sn-1=a（an-1-1）
∴（a-1）an=a（an-an-1），变形得：
=a（n≥2）（4分）an an−1
故{an}是以a1=a为首项，公比为a的等比数列，∴an=an（6分）
（Ⅱ）（1）当a=1时，A={1}，Sn=n，只有n=1时Sn∈A，
∴a=1不适合题意（7分）
（2）a＞1时，A={x|1≤x≤a}，S2=a+a2＞a，∴S2∉A，
即当a＞1时，不存在满足条件的实数a（9分）
（3）当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1}
而Sn=a+a2+…an=
(1−an)∈[a，a 1−a
)a 1−a
因此对任意的n∈N*，要使Sn∈A，
只需0＜a＜1，
≤1解得0＜a≤a 1−a
（11分）1 2
综上得实数a的范围是（0，
]．（12分）1 2